La géométrie discrète a pour objectif de définir dans l’espace discret, les objets, notions, propriétés géométriques du monde analogique, dans un souci de cohérence entre les deux mondes. Les problèmes faisant intervenir cette géométrie apparaissent en effet dès lors que l’on s’intéresse à l’analyse d’images discràtes (images numériques, médicales), pour la reconnaissance ou le codage de structures par exemple. Dans ce travail de thèse, nous nous intéressons à divers problèmes de géométrie discrète, de la caractérisation des objets géométriques de base comme les droites et les plans, jusqu’à la reconstruction polyédrique de surfaces discrètes. Cette évolution se décompose en deux grandes étapes, qui correspondent aux deux parties de ce manuscrit :
– une étude des objets de base de la géométrie discrète que sont les droites et les plans est proposée, en apportant notamment de nouveaux éléments de caractérisation de l’intersection de deux droites ou deux plans discrets ;
– nous voyons ensuite comment utiliser ces primitives pour la description d’objets discrets plus complexes, en présentant tout d’abord des résultats sur la segmentation d’une surface discrète en plans discrets, puis en proposant des algorithmes de reconstruction polyédrique réversible d’une surface discrète à partir de cette segmentation.