Thèse de Agathe Herrou


Sujet :
Transport optimal semi-discret symétrique pour l'interpolation de maillages

Résumé :

Cette thèse a pour but de développer des méthodes géométriques pour approximer l'interpolation de déplacement, issue du transport optimal. Le transport optimal est une théorie mathématique modélisant des déplacements de matière sous une contrainte de minimisation de coût, avec de nombreuses applications en physique, en informatique graphique et en géométrie. Le coût minimal du déplacement entre deux distributions définit une distance, qui elle-même est à l'origine de l'interpolation de déplacement. Ces interpolations peuvent sous certaines conditions présenter des discontinuités, que les approximations discrétisées du transport optimal n'arrivent pas toujours à bien capturer. Le travail de cette thèse vise à développer une approximation qui capture bien ces discontinuités.  Notre méthode s'appuie sur le transport optimal semi-discret, où seul l'une des distributions est discrétisée, capturant ainsi avec précision les discontinuités de la distribution restée continue. Les plans de transport ainsi obtenus partitionnent la distribution continue en cellules associées aux échantillons  de la discrétisation. On peut donc assimiler un plan de transport optimal semi-discret à un diagramme de puissance composé de ces cellules. Cette variante du transport optimal a cependant l'inconvénient de briser la symétrie entre les deux distributions. Nous commençons par formaliser notre problème comme la recherche de plans de transport couplés par le biais des barycentres de leurs cellules. Nous présentons ensuite un premier algorithme pour le calcul de ces plans de transport couplés. Il repose sur un schéma classique d'algorithme alterné, calculant successivement des plans de transport et les barycentres de leur cellules jusqu'à convergence. Les résultats obtenus à partir de cet algorithme permettent d'interpoler entre les distributions initiales en conservant une précision satisfaisante, en particulier au niveau des discontinuités, et y compris lorsque la discrétisation des distributions est faits avec relativement peu de points. Nous présentons ensuite notre exploration de méthodes d'optimisation pour résoudre le même problème. Ces méthodes expriment les contraintes de notre problème comme un point critique d'une fonctionnelle, et cherchent à  atteindre ces points à l'aide d'algorithmes tels que l'algorithme de Newton. Cette approche n'a cependant pas donné de résultats concluants, les fonctions considérées étant trop bruitées pour se prêter à des algorithmes d'optimisation.


Encadrant : Nicolas Bonneel
Co-encadrant : Julie Digne

Date de soutenance : jeudi, 20 octobre, 2022

Jury :
Mme Delon Julie (rapportrice)Professeur(e)Université Paris CitéRapporteur(e)
M. Thibert BorisMaître de conférenceUniversité Grenoble AlpesRapporteur(e)
Dominique AttaliDirecteur(trice) de rechercheCNRS/Université Grenoble AlpesExaminateur​(trice)
M. Santambrogio Filippo Professeur(e)Université Lyon 1Examinateur​(trice)
M. Bonneel NicolasChargé(e) de RechercheLIRIS CNRS UMR 5205 - Université Lyon 1Directeur(trice) de thèse
Mme Digne JulieChargé(e) de RechercheLIRIS CNRS UMR 5205 - Université Lyon 1Co-directeur (trice)
M. Lévy Bruno LévyDirecteur(trice) de rechercheInria Nancy Grand EstCo-directeur (trice)