La présente thèse a pour objectif le développement des aspects théoriques et applicatifs de nouvelles approches de la théorie d’échantillonnage. Cette nouvelle théorie sera notamment basée sur les systèmes auto-similaires définis par des règles de substitutions, ainsi que sur les systèmes de numérotation associées à de tels systèmes auto-similaires. Une multitude d’approches seront abordées dans le présent projet ; elles visent toutes à réduire la discrépance des séquences multidimensionnelles, pour atteindre la réduction de la variance dans les méthodes de Monte Carlo ou Quasi-Monte Carlo pour lesquelles ces approches seront applicables.
On pourrait classer les approches proposées en trois grandes catégories. La première est purement géométrique ; elle se base sur les pavages auto-similaires avec des propriétés spectrales contrôlées. Cette approche suit celle novatrice basée sur les pavages de Penrose, introduite en 2004 par Ostromoukhov, et améliorée depuis. Dans le projet futur, nous espérons pouvoir mieux contrôler les propriétés spectrales des systèmes de pavage, ainsi qu’étendre cet approche à la dimension trois, quatre et plus. La deuxième approche est fondée sur la théorie des séquences à basse discrépance basée sur les permutations. Le présent projet va appliquer la méthodologie développée dans un travail récent où l’on a obtenu une discrépance asymptotique extrême et celle à l’origine en dimension un, la plus basse connue à ce jour. Finalement, la troisième approche est purement algébrique. Elle cherchera, à partir des constructions similaires aux constructions de séquences de Halton, de Hammersley, de Faure ou de Niederreiter généralisées, à produire des séquences uniformes multidimensionnelles avec des propriétés spectrales contrôlées. Les méthodes proposées, une fois leurs propriétés bien étudiées, trouveront un vaste spectre d’applications partout où les méthodes de Monte Carlo ou Quasi-Monte Carlo s’appliquent. Elles seront notamment très utiles dans les méthodes de simulation de flux lumineux pour la synthèse d’image. Par ailleurs, elles seront également très utile dans la simulation numérique des processus économiques complexes qui consomment des ressources computationnelles colossales, et où l’augmentation de l'efficacité du système d’échantillonnage employé joue un rôle primordial.