Logiques de description & ontologies¶§

author:	Pierre-Antoine Champin

Historique¶§

Logique¶§

Logique des propositions (Boole)
Logique des prédicats (Frege, ...)
Calculabilité, complexité (Turing-Church)
Incomplétude (Gödel)

Règles¶§

Clauses de Horn

Systèmes experts (PROLOG)

cretois(minos) .
menteur(X) :- cretois(X) .

?- menteur(minos)
yes
?- menteur(M)
M=minos

Difficulté à maintenir de grosses bases de règles

Logiques « intuitives »¶§

Réseaux sémantiques
- représentation graphique

Logiques « intuitives » (suite)¶§

Frames (Minsky)
- approche « objet »
- stéréotypes
- valeurs par défaut
- logique non monotone
  
  (tous les oiseaux volent, les autruches ne volent pas)

Remise en ordre¶§

graphes conceptuels (Sowa)
- représentation graphique formalisée
logiques de description
- représentation logique simplifiée

Logiques de description¶§

Pas un langage, mais une famille de langage
Formalisme de plus haut niveau que la LPO
Compromis maîtrisé entre décidabilité et complexité
Autres appellations :
- logiques descriptives
- logiques terminologiques

Ontologies¶§

Une ontologie est “ une spécification explicite d’une conceptualisation ” (Gruber 1993)
Modèle de données pour pouvoir
- représenter ce qui existe dans un domaine, et
- raisonner sur ces représentation.
Notion popularisée avec le Web sémantique et le langage OWL
- lui même basé sur les logique de descriptions

Syntaxe et sémantique¶§

Éléments de base¶§

L’univers du discours est constitué d’individus, appartenant à des concepts (ou classes), et reliés entre eux par des rôles (ou propriété).

LD	LPO
Individu	Constante
Concept	Prédicat 1-aire
Rôle	Prédicat 2-aire

Exemples¶§

Concepts	Rôles	Individus
Homme	connait	john
Voiture	(a pour) père	jane
Rouge	mère	ab-123-cd
Menteur	enfant
Ferrari	conduit

Axiomes¶§

Syntaxe	Appellation	Sémantique
C ⊑ D	subsomption de concepts	∀ x, C(x) → D(x)
r ⊑ s	subsomption de rôles	∀ x, y, r(x, y) → s(x, y)

NB: l’équivalence peut s’exprimer par deux subsomptions symétriques : C ⊑ D et D ⊑ C

Axiomes : exemples¶§

Crétois ⊑ Menteur
ami ⊑ connait

Concepts complexes : constructeurs ensemblistes¶§

Syntaxe	Appellation	Sémantique
⊤	concept universel (top)	Δ
⊥	concept absurde (bottom)	∅
¬C	complément	{ x \| ¬C(x) }
C ⊔ D	union	{ x \| C(x) } ∪ { x \| D(x) }
C ⊓ D	intersection	{ x \| C(x) } ∩ { x \| D(x) }
{a}	extension	{a}

Constructeurs ensemblistes : exemples¶§

¬Menteur
Homme ⊔ Voiture
Crétois ⊓ Menteur
Voiture ⊓ (Rouge ⊔ ¬Ferrari)
{john, paul, george, ringo}

Concepts complexes : restrictions¶§

Syntaxe	Appellation	Sémantique
∃ r C	qualificateur existentiel	{ x \| ∃ y, r(x, y) ∧ C(y) }
∀ r C	qualificateur universel	{ x \| ∀ y, ¬r(x, y) ∨ C(y) }
= n r C	quantificateur	{ x \| #{y \| r(x, y) ∧ C(y)} = n }
≤ n r C	quantificateur (max)	{ x \| #{y \| r(x, y) ∧ C(y)} ≤ n }
≥ n r C	quantificateur (min)	{ x \| #{y \| r(x, y) ∧ C(y)} ≥ n }

NB : on omet généralement C lorsqu’il s’agit de ⊤ ;

par exemple : ∃ r , ∀ r , = 1 r ...

Restrictions : exemples¶§

∃ enfant
∀ conduit Ferrari
(∃ conduit) ⊓ (∀ conduit Ferrari)
= 2 conduit Ferrari
≥ 2 connait (Crétois ⊓ Menteur)

Rôles complexes¶§

Syntaxe	Appellation	Sémantique
r⁻	rôle inverse	{ (x, y) \| r(y, x) }
r∘s	rôle composé	{ (x, y) \| ∃ z, r(x, z) ∧ s(z, y) }
¬r	complément	{ (x, y) \| ¬r(x, y) }

Exemples¶§

conduit⁻
connait ∘ conduit
connait ∘ connait

Axiomes complexes : exemples¶§

∃ conduit ⊑ Adulte
∃ conduit⁻ ⊑ Voiture
Personne ⊑ Adulte ⊔ Enfant
Personne ⊑ (= 1 père Homme) ⊓ (= 1 mère Femme)
Personne ⊑ ¬Voiture

Décidabilité et complexité¶§

Chaque LD impose des contraintes sur :

les axiomes autorisés,
les constructeurs autorisés,
la manière de les combiner,

afin de garantir que les mécanismes de raisonnement

seront décidables,
auront une complexité maximale.

→ compromis entre expressivité et complexité.

Raisonnement¶§

Rappels¶§

Interprétation de F
- domaine du discours
- fonction d’interprétation
Modèle
- axiomes → contraintes
Implication
- F est satisfiable si elle a au moins un modèle
- F ⊧ G ssi tous les modèles de F sont des modèles de G
- ⇒ F ⊧ G ssi F ∧ ¬G est non satisfiable

Méthode des tableaux¶§

Un tableau est un arbre, représentant une famille de modèles
Application systématique de règles pour explorer tous les modèles possibles (non déterministe)
Preuve par réfutation : concept non satisfiable

Exemple¶§

Enjeux¶§

Décidable : dépend du type de LD choisie
Correct/complet : ensemble de règles de transformation
Complexe : optimiser l’ordre d’application des règles
Problème des modèles infinis : exemple
- Entier ⊑ (= 1 suivant Entier) ⊓ (≤ 1 suivant⁻)
- {zero} ⊑ Entier ⊓ (= 0 suivant⁻)

Implémentations¶§

Hermit: http://hermit-reasoner.com/
Pellet: http://clarkparsia.com/pellet
Racer: http://www.racer-systems.com/
FaCT: http://www.cs.man.ac.uk/~horrocks/FaCT/

Méta-modélisation¶§

En théorie : séparation stricte entre les individus, les concepts et les rôles
En pratique : pas d’ambiguïté syntaxique sur la nature d’un terme
Punning (calembour) : autorisation d’utiliser le même terme pour des éléments de nature différente
- aucun lien sémantique entre eux
- mais intérêt pragmatique
⚠ pas très bien supporté par Protégé :-(

Annexe : Protégé¶§

Installation¶§

Téléchargement de Protégé (version ≥ 5) :

http://protege.stanford.edu/

Prise en main :

http://protegewiki.stanford.edu/wiki/Protege4GettingStarted

Syntaxe de Protégé¶§

Protégé utilise dans son IHM une syntaxe alternative

inspirée de la syntaxe Manchester

n’utilisant que l’alphabet latin

donnes des phrases en pseudo-anglais → lisibilité

En interne, Protégé utilise

le langage OWL,

sauvegardé au format RDF/XML.

Terminologie¶§

OWL/Protégé	LD
Individu	Individu
Classe	Concept
Propriété	Rôle

Concepts complexes : constructeurs ensemblistes¶§

Protégé	LD
Thing	⊤
Nothing	⊥
C and D	C ⊓ D
C or D	C ⊔ D
not C	¬C
{a}	{a}

Concepts complexes : restrictions¶§

Protégé	LD
r some C	∃ r C
r only C	∀ r C
r exactly n C	= n r C
r max n C	≤ n r C
r min n C	≥ n r C

Rôles complexes¶§

Protégé	LD
inverse(r)	r⁻
r o s	r∘s

Axiomes dans Protégé-OWL¶§

Protégé offre des axiomes « de haut niveau » qui visent à

améliorer la lisibilité de la base de connaissance
optimiser le raisonnement
contraindre l’utilisation de certains constructeurs à certaines formes d’axiome selon les profils (e.g. Property Chain)

NB: ces axioms viennent en fait du langage OWL.

Sur les concepts¶§

Protégé	LD
Equivalent class(C,D)	C ⊑ D et D ⊑ C
Subclass of(C,D)	C ⊑ D
Member(C,a)	C(a)
Disjoint class(C,D)	C ⊑ ¬D

Sur les rôles¶§

Protégé	LD
Functional(r)	⊤ ⊑ (≤ 1 r)
Inverse functional(r)	⊤ ⊑ (≤ 1 r⁻)
Transitive(r)	r ∘ r ⊑ r
Symmetric(r)	r ⊑ r⁻
Asymmetric(r)	r ⊑ ¬(r⁻)
Reflexive(r)	⊤ ⊑ (∃ r self)
Irreflexive(r)	⊤ ⊑ ¬(∃ r self)

Sur les rôles (suite)¶§

Protégé	LD
Domain(r,C)	∃ r ⊑ C
Range(r,C)	∃ r⁻ ⊑ C
Equivalent property(r,p)	r ⊑ p et p ⊑ r
Super property(r,p)	r ⊑ p
Inverse property(r,p)	r ⊑ p⁻ et p⁻ ⊑ r
Disjoint property(r,p)	r ⊑ ¬p
Property chain(r,p,q...)	p ∘ q ∘ ... ⊑ r