Mes travaux de recherche

Vous pouvez consuler mon habilitation à diriger des recherches (disponible en pdf ou en ligne) pour avoir un résumé détaillé de mes principales activités de recherche

Mes travaux de recherches concernent l'étude de modèles combinatoires/topologiques (par exemple les cartes combinatoires, les cartes généralisées, les ensemble simpliciaux, les chaînes de cartes...). La première partie de mes travaux est théorique et porte sur l'étude de leurs propriétés, la définition de modèles génériques en dimension quelconque, l'optimisation de ces modèles afin de répondre à des problématiques spécifiques, et le lien avec la topologie algébrique afin par exemple de calculer des invariants topologiques à partir de ces modèles.

Une deuxième partie de mes travaux portent sur l'utilisation des résultats théoriques en traitement d'images et en modélisation géométrique. Pour cela, nous définissons des algorithmes utilisant les propriétés de nos modèles afin de par exemple intégrer des critères topologiques au sein d'algorithmes de segmentation 3D. Nous avons travaillé à la définition d'algorithmes de segmentation 2D et 3D, à la mise en oeuvre d'opérations de modifications (par exemple la fusion ou la découpe de régions) et à des algorithmes de calcul d'invariants topologiques (caractéristique d'Euler, groupes d'homologies...). A chaque fois, nous intégrons nos résultats au sein de différents logiciels (traitement d'images 2D ou 3D, modeleur géométrique Moka...) afin de montrer l'intérêt pratique de nos recherches.

Définition d'un modèle topologique

Ce modèle mathématique s'appuie sur les cartes combinatoires, ou cartes généralisées, et permet de représenter les images 2 et 3 dimension. Il contient toutes les informations topologiques de l'image, et peut être associé aisément à un modèle géométrique. Notre définition de ce modèle se distingue par la notion de niveau de simplification, qui permet de le définir progressivement, facilement, et formellement. De plus, nous avons étendu ce modèle afin de proposer une version hiérarchique permettant de représenter plusieurs niveaux de segmentation au sein d'une pyramide de cartes.

Un algorithme optimal d'extraction

Cet algorithme permet d'extraire directement, en une seule passe de l'image, n'importe quel niveau de simplification. Il se base sur la notion de précode, et peut se définir simplement de manière hiérarchique. Le nombre important de cas possible en dimension 3 (4140) à pu être grandement diminué par notre étude montrant le parallèle entre ce nombre de précodes et le niveau de simplification.

Algorithmes de segmentation utilisant la carte topologique

Nous avons proposé des algorithmes de segmentation utilisant la carte topologique, en 2 et 3 dimensions. Le principe de ces algorithmes est d'utiliser des méthodes de type "split and merge" de manière similaire aux méthodes utilisant des graphes d'adjacences de régions (RAG), mais en utilisant les spécificités des cartes topologiques afin d'intégrer des critères topologiques durant la segmentation. Nous avons par exemple montré qu'il était possible de contrôler l'évolution des nombres de Betti en 3D afin de guider le résultat de la segmentation.

Des algorithmes de manipulation

Nous étudions actuellement des algorithmes permettant de manipuler notre modèle. Un avantage de celui-ci, est qu'il peut-être utilisé aussi bien pour des opérations automatiques, comme le raffinement de segmentation, que pour de la visualisation volumique, ou des opérations interactive de déformation.

Moka : un modeleur géométrique à base topologique

Afin de valider notre modèle, nous avons développé un logiciel de modélisation géométrique s'appuyant sur un noyau de carte généralisées. Ce logiciel nous permet de tester facilement un nouvel algorithme et est la base de différents travaux (modélisation de bâtiments, évolution de couches géologiques, ...).

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